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Il dilemma di Monty Hall

In questo articolo spiegherò in maniera non rigorosa (evitando, pertanto, dimostrazioni mediante formule inerenti alla teoria Bayesiana), ma comunque corretta e spero esaustiva, la soluzione inerente ad un gioco che fu proposto agli ospiti di una celebre trasmissione televisiva americana: “Let’s make a deal“. Il suo conduttore Monty Hall, nel 1990, suscitò una accesa controversia sulla rivista “Parade”.

 

Piccola introduzione al gioco

Vengono presentati tre pacchi: il Pacco A, il Pacco B ed il Pacco C.

In uno di questi tre pacchi si nasconde un premio, mentre gli altri due pacchi sono vuoti. Dopo che al giocatore verrà data la possibilità di scegliere uno di questi tre pacchi, il conduttore, che sa dove si nasconde il premio, aprirà un pacco vuoto, scegliendolo tra i due restanti non scelti dal giocatore. Una volta che il conduttore avrà aperto il pacco vuoto tra i due restanti, chiederà al giocatore se vorrà cambiare pacco, oppure se vorrà mantenere il pacco che aveva scelto inizialmente.

 

Possibili strategie – Esempio

Ipotizziamo che il premio si nasconda nel Pacco B, così come illustrato nella figura che segue:

ed ipotizziamo che il giocatore scelga il Pacco A.

A questo punto le probabilità che il giocatore ha di vincere il premio sono pari ad 1/3, come riportato nella figura che segue:

dato che il giocatore non sa dove si trovi il premio che, pertanto, potrebbe trovarsi sia nel Pacco A, che nel Pacco B, che nel Pacco C con la stessa probabilità.

Il conduttore, che, ripeto, è a conoscenza di dove si trovi il premio, aprirà il Pacco C e chiederà al giocatore se voglia cambiare, oppure se voglia mantenere il pacco che aveva scelto, ovvero il Pacco A, pertanto, a questo punto, ci troviamo nella seguente condizione:

Il conduttore, pertanto, darà la possibilità al giocatore di cambiare il Pacco A che aveva scelto, oppure di non cambiarlo.

A questo punto la domanda che vi pongo è la seguente:
che probabilità avrà il giocatore di vincere il premio nel caso in cui cambiasse il pacco?
Intuitivamente verrebbe da dire che la probabilità di vincere o di perdere è di 1/2 sia se il giocatore cambiasse il pacco, sia se decidesse di rimanere con il pacco inizialmente scelto; in realtà non è cosi!
Vediamo di seguito il perché.

Gli scenari possibili che si presentano sono due:

a) il giocatore mantiene il pacco scelto inizialmente (il Pacco A nel nostro esempio);

b) il giocatore cambia il pacco con il rimanente pacco (il Pacco B nel nostro esempio).

 

Quale è la probabilità di individuare il pacco con il premio con la strategia a)?

La probabilità di vincere con la strategia a) è pari ad 1/3; questo perché non dobbiamo farci fuorviare dal fatto che il conduttore, DOPO LA SCELTA EFFETTUATA DAL GIOCATORE, abbia aperto una scatola.

Di fatto una scatola su tre contiene il premio, pertanto, il giocatore avendo scelto un pacco ha una probabilità di 1/3 di trovarlo.

 

Quale è la probabilità di individuare il pacco con il premio con la strategia b)?

Se abbiamo capito la strategia a), è facile capire anche la strategia b). La probabilità che l’oggetto sia in una delle due scatole NON scelte è di 2/3.

Visto che il conduttore rivela quale delle due è vuota, la probabilità che l’oggetto sia nell’altra è per l’appunto di 2/3.

Cambiando scatola, quindi, è come se il giocatore avesse scelto DUE scatole, anziché UNA.

 

Non siete convinti?

Vi illustrerò graficamente di seguito, come promesso, una piccola dimostrazione per chiarirvi questo ‘dilemma’, evitando formule riconducibili al Teorema di Bayes che potrebbero apparire complesse.

La soluzione può apparire controintuitiva, ma non si tratta di una vera antinomia, in quanto non genera contraddizioni logiche. La cosa importante di questo ‘dilemma’ che dobbiamo imparare e ricordare è che non possiamo ‘dimenticare’ nelle scelte future ciò che è accaduto precedentemente, per capire ed avere ben chiaro questo concetto, consideriamo il grafico che segue:

Tornando al nostro esempio, nel caso che il giocatore abbia scelto il Pacco A e SAPPIA che il conduttore aprirà un pacco vuoto tra uno dei due restanti, nel nostro esempio il Pacco C, le casistiche che abbiamo sono le seguenti:

  1. Il giocatore sceglie il Pacco vuoto A. Il conduttore apre il Pacco vuoto C, pertanto, il giocatore, cambiando il pacco, vincerebbe il premio;
  2. Il giocatore sceglie il Pacco vuoto B. Il conduttore apre il Pacco vuoto C (ad esempio), pertanto, il giocatore, cambiando il pacco, perderebbe il premio;
  3. Il giocatore sceglie il Pacco vuoto C. Il conduttore apre il Pacco vuoto A, pertanto, il giocatore, cambiando il pacco, vincerebbe il premio.

Nello scenario 1. e 3., cambiando il pacco, il giocatore vincerebbe il premio; nello scenario 2., invece, il giocatore, cambiando il pacco, perderebbe. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria, adottando questa strategia, sono pari a 2/3.

 

Osservazione conclusiva

Il problema sarebbe diverso se, ad esempio, al giocatore non fosse concesso di fare una scelta iniziale, o se il conduttore scegliesse una pacco a caso.
Alcune formulazioni del problema e significativamente quella del settimanale Parade, non escludono esplicitamente queste possibilità; diversi testi di probabilità elementare riportano varianti del problema.
Per esempio, se il conduttore offrisse la possibilità di cambiare solo se il giocatore inizialmente avesse scelto il pacco con il premio, le chance di vittoria associate alla strategia “cambiare” sarebbero, ovviamente, dello 0%.
Nella formulazione proposta nella sezione precedente, il giocatore che cambia ha una probabilità di vittoria pari precisamente a 2/3 perché il conduttore deve rivelare un pacco vuoto, nonché offrire la possibilità di cambiare il pacco.

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